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解联立方程式与其几何意义(二)(Solving simult

连结:解联立方程式与其几何意义(一) 

在〈解联立方程式与其几何意义(一)〉一文里,说明了解二元一次联立方程式的几何意义。接着,我们推广至三元一次联立方程式的情况。而其几何意义也与空间中的平面有关。

解联立方程式与其几何意义(二)(Solving simult

图一 绿色平面为通过透明平面与黄色平面之交线且与 \(xy\) 平面垂直的新平面

如图一,设 \(E_1\)(黄色平面)与\(E_2\)(透明平面)交于一直线 \(L\),而其上一点 \(P\) 为此交线与另一个平面 \(E\) 的交点。利用平面族的概念,可造出一个通过平面 \(E_1\) 与平面 \(E_2\) 之交线 \(L\)、且与 \(xy\) 平面垂直的新平面 \(E_3\)(即绿色平面)。当我们将黄色平面 \(E_1\) 置换成绿色平面 \(E_3\) 时,交线 \(L\) 保持不变,而此交线 \(L\) 与平面 \(E\) 之交点 \(P\) 亦保持不变。以下,我们举实际的例子作说明。

已知联立方程式 \(\left\{ \begin{array}{c} x + y + z = 6 \cdots (1)~E_1\\ 2x – y + z = 3 \cdots (2)~E_2\\ x – y + 3z = 8 \cdots (3) ~E_3\end{array} \right.\)求解上述联立方程式的过程里,

我们先将第 \((1)\) 式减去第 \((2)\) 式,得 \(-x+2y=3\),此为第 \((4)\) 式。

将第 \((1)\) 式乘以 \(3\) 倍,得 \(3x+3y+3z=18\) 减去第 \((3)\) 式,

得 \(2x+4y=10\),此为第 \((5)\) 式。

接着,将第 \((4)\) 式乘以 \(2\) 倍,得 \(-2x+4y=6\) 加上第 \((5)\) 式,

得 \(8y=16\),即 \(y=2\),此为第 \((6)\) 式。

将代入第 \((4)\) 式,得 \(x=1\),此相当于利用第 \((4)\) 式减去第 \((6)\) 式的 \(2\) 倍 \(2y=4\),

得 \(x=1\),此为第 \((7)\) 式。

最后,将 \(x=1\) 与 \(y=2\) 代入第 \((1)\) 式,可得 \(z=3\),

此相当于利用第 \((1)\) 式减去第 \((6)\) 式与第 \((7)\) 式,得 \(z=3\),此为第 \((8)\) 式。

接着,我们仔细分析上述过程当中,所包含的各个主要步骤,并利用平面族的概念来说明代数操作背后所涉及的几何意义与平面置换。

步骤一,将 \((1)\) 式减去第 \((2)\) 式,得 \(-x+2y=3\),为第 \((4)\) 式。

\((1) – (2)\) 消去 \((2)\) 式里的 \(z\),相当于将第 \((2)\) 式(即平面 \(E_2\))
置换成一个通过平面 \(E_1\)(即 \(x+y+z=6\))与 \(E_2\)(即 \(2x-y+z=3\))之交线、
且垂直 \(xy\) 平面的平面 \(E_4\)(即 \(-x+2y=3\))。
此时得到新联立方程式:\(\left\{ \begin{array}{c} x + y + z = 6 \cdots (1)~E_1\\ -x +2 y=3\cdots (4)~E_4\\ x – y + 3z = 8 \cdots (3) ~E_3\end{array} \right.\)
由于平面 \(E_1\) 与 \(E_2\) 的交线和平面 \(E_1\) 与 \(E_4\) 的交线相同,
故平面 \(E_1\) 与 \(E_2\) 与  \(E_3\) 的交点以及平面 \(E_1\) 与 \(E_4\) 与 \(E_3\) 的交点亦相同。
换句话说,将平面 \(E_2\) 换成平面 \(E_4\) 的过程中,交点保持不变,
即新方程组的解也与原方程组的解相同。

步骤二,将 \((1)\) 式乘上 \(3\) 倍减去第 \((3)\) 式,得 \(2x+4y=10\),为第 \((5)\) 式。

\((1)\times 3-(3)\) 消去 \((3)\) 式里的 \(z\),相当于将第 \((3)\) 式(即平面 \(E_3\))
置换成一个通过平面 \(E_1\)(即 \(x+y+z=6\))与 \(E_3\)(即 \(x-y+3z=8\))之交线、
且垂直 \(xy\) 平面的平面 \(E_5\)(即 \(2x+4y=10\))。
此时得到新联立方程式:\(\left\{ \begin{array}{c} x + y + z = 6 \cdots (1)~E_1\\ -x +2 y= 3 \cdots (4)~E_4\\ 2x +4 y = 10 \cdots (5) ~E_5\end{array} \right.\)
同样地,由于平面 \(E_1\) 与 \(E_3\) 的交线和平面 \(E_1\) 与 \(E_5\) 的交线相同,
故平面 \(E_1\) 与 \(E_3\)与 \(E_4\) 的交点以及平面 \(E_1\) 与 \(E_5\) 与 \(E_3\) 的交点亦相同。
换句话说,将平面 \(E_3\) 换成平面 \(E_5\) 的过程中,交点保持不变,
即新方程组的解也与原方程组的解相同。

步骤三,将 \((4)\) 式乘以 \(2\) 倍,加上第 \((5)\) 式,得 \(8y=16\),即 \(y=2\),为第 \((6)\) 式。

\((4)\times 2+(5)\) 消去 \((5)\) 式里的 \(x\),相当于将第 \((5)\) 式(即平面 \(E_5\))
置换成一个通过平面 \(E_4\)(即 \(-x+2y=3\))与 \(E_3\)(即 \(2x+4y=10\))之交线、
且垂直 \(y\) 轴的平面\(E_6\)(即 \(y=2\))。
此时得到新联立方程式:\(\left\{ \begin{array}{c} x + y + z = 6 \cdots (1)~E_1\\ -x +2 y= 3 \cdots (4)~E_4\\y = 2 \cdots (6) ~E_6\end{array} \right.\)
类似地,将平面 \(E_5\) 换成平面 \(E_6\) 的过程中,交点保持不变,
即新方程组的解也与原方程组的解相同。

步骤四,第 \((4)\) 式减去第 \((6)\) 式的 \(2\) 倍 \(2y=4\),得 \(x=1\),此为第 \((7)\) 式

\((4)\times 2-(6)\) 消去 \((4)\) 式里的 \(y\),相当于将第 \((4)\) 式(即平面 \(E_4\))
置换成一个通过平面 \(E_4\)(即 \(-x+2y=3\))与 \(E_6\)(即 \(y=2\))之交线、
且垂直 \(x\) 轴的平面\(E_7\)(即 \(x=1\))。
此时得到新联立方程式:\(\left\{ \begin{array}{c} x + y + z = 6 \cdots (1)~E_1\\x=1\cdots (7)~E_7\\y=2\cdots (6) ~E_6\end{array} \right.\)
类似地,将平面 \(E_4\) 换成平面 \(E_7\) 的过程中,交点保持不变,
即新方程组的解也与原方程组的解相同。

步骤五,第 \((1)\) 式减去第 \((6)\) 式,得 \(x+z=4\),再减去第 \((7)\) 式,得 \(z=3\),为第 \((8)\) 式。

\((1)-(6)-(7)\) 的过程相当于将第 \((1)\) 式(即平面 \(E_1\))
置换成一个通过平面 \(E_1\)(即 \(x+y+z=6\))与 \(E_6\)(即 \(y=2\))之交线、
且垂直 \(xz\) 平面的平面(即 \(x+z=4\))。
再置换成通过 \(x+z=4\) 与 \(x=1\) 之交线、且垂直 \(z\) 轴的平面 \(E_8\)(即 \(z=3\))。
最终得到下列联立方程式:\(\left\{ \begin{array}{c}z=3\cdots (8)~E_8\\x=1\cdots (7)~E_7\\y=2\cdots (6) ~E_6\end{array} \right.\)
类似地,将平面 \(E_1\) 换成平面 \(E_8\) 的过程中,交点保持不变,
即新方程组的解也与原方程组的解相同。

最后,由这三个分别与三坐标轴垂直的平面可知,其交点的 \(x\) 坐标必为 \(1\)、\(y\) 坐标必为 \(2\)、\(z\) 坐标必为 \(3\);亦即原联立方程式的解为 \((x,y,z)=(1,2,3)\)。

上述整个消去法解联立方程式的过程中,始终保持了交点(解)的不变性。

并从原联立方程式 \(\left\{ \begin{array}{c} x + y + z = 6 \cdots (1)~E_1\\ 2x – y + z = 3 \cdots (2)~E_2\\ x – y + 3z = 8 \cdots (3) ~E_3\end{array} \right.\) 逐步地消去未知数,进行方程式的置换,
最终所得到的联立方程式 \(\left\{ \begin{array}{c}z=3\cdots (8)~E_8\\x=1 \cdots (7)~E_7\\y=2\cdots (6) ~E_6\end{array} \right.\) 即可看出原方程式的解。

以上,便是以消去法解三元一次联立方程式相关代数操作背后的几何意义,包含了平面的置换与方程式的置换,并利用平面族的概念确保了交点(解)的不变性。



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